PQ-Formel einfach erklärt: Formel, Beispiel und typische Fehler

Grundidee

Wann die PQ-Formel passt

Die PQ-Formel nutzt du für quadratische Gleichungen in dieser Form:

$x^2+px+q=0$

Wichtig: Vor $x^2$ muss eine 1 stehen. Wenn dort zum Beispiel $2x^2$ steht, teilst du zuerst die ganze Gleichung durch 2.

Beispiel

Löse:

$x^2-5x+6=0$

Vergleiche mit $x^2+px+q=0$ . Hier ist $p=-5$ und $q=6$ .

Setze ein:

$x=-\frac{-5}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2-6}$

Das ergibt $x=2{,}5\pm0{,}5$ . Also sind die Lösungen $x_1=3$ und $x_2=2$ .

Typische Fehler

Das Vorzeichen von $p$ wird oft falsch übernommen. Bei $-5x$ ist $p=-5$ , nicht $5$ .
Viele setzen die Formel ein, obwohl rechts noch keine 0 steht. Bring zuerst alles auf eine Seite.
Steht vor $x^2$ eine Zahl, wird die PQ-Formel trotzdem direkt benutzt. Teile vorher durch diese Zahl.
Unter der Wurzel passieren die meisten Rechenfehler. Rechne $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$ als eigenen Zwischenschritt aus.

Mini-Spickzettel

Form	$x^2+px+q=0$
Formel	$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
Vorbereitung	Alles auf eine Seite bringen, rechte Seite 0.
Ergebnis	Durch $\pm$ bekommst du oft zwei Lösungen.

Üben

Leicht: Bestimme

p

und

q

bei

x^2+4x-12=0

Vergleiche mit $x^2+px+q=0$ .

Also gilt $p=4$ und $q=-12$ .

Mittel: Löse

x^2-4x+3=0

$p=-4$ , $q=3$ . Einsetzen ergibt $x=2\pm\sqrt{4-3}$ .

Also $x=2\pm1$ , damit $x_1=3$ und $x_2=1$ .

Klausurnah: Löse

2x^2-8x+6=0

mit Vorbereitung.

Zuerst durch 2 teilen: $x^2-4x+3=0$ .

Dann wie oben: $x_1=3$ und $x_2=1$ .

Scoolie

Scoolie kann mit dir prüfen, ob eine Gleichung schon in der richtigen Form steht.

In der Hausaufgabenhilfe bekommst du den nächsten Schritt, wenn du beim Einsetzen festhängst.

Im Klausurtrainer kannst du verschiedene quadratische Gleichungen üben, bis die Formel sicher sitzt.