Binomische Formeln einfach erklärt: Regeln, Beispiele und Fehler

Grundidee

Die drei Muster, die du wirklich brauchst

Binomische Formeln sind Abkürzungen für Klammern. Sie sparen Zeit, wenn du das Muster erkennst.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Beispiel

Rechne aus:

$(x+5)^2$

Das ist die erste binomische Formel mit $a=x$ und $b=5$ .

Setze ein:

$x^2+2\cdot x\cdot5+5^2$

Vereinfacht ergibt das:

$x^2+10x+25$

Typische Fehler

$(x+5)^2$ wird oft fälschlich zu $x^2+25$ . Das mittlere Glied $10x$ entsteht durch $2\cdot x\cdot5$ .
Bei $(a-b)^2$ wird manchmal auch das letzte Glied negativ gemacht. Richtig ist: Nur das mittlere Glied ist negativ.
Bei $(a+b)(a-b)$ wird oft ein mittleres Glied dazugeschrieben. Es fällt weg, weil sich $+ab$ und $-ab$ aufheben.
Beim Faktorisieren werden passende Quadratzahlen geraten. Prüfe durch Ausmultiplizieren, ob dein Ergebnis wirklich zurückführt.

Mini-Spickzettel

Plus-Quadrat	$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Minus-Quadrat	$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Plus mal Minus	$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Kontrollfrage	Gibt es ein mittleres Glied? Bei den ersten beiden ja.

Üben

Leicht: Rechne

(x+2)^2

aus.

Nutze $a^2+2ab+b^2$ mit $a=x$ , $b=2$ .

Ergebnis: $x^2+4x+4$ .

Mittel: Rechne

(3x-4)^2

aus.

Nutze $a^2-2ab+b^2$ mit $a=3x$ , $b=4$ .

Ergebnis: $9x^2-24x+16$ .

Klausurnah: Faktorisiere

x^2-16

Das ist eine Differenz von Quadraten: $x^2-4^2$ .

Also: $x^2-16=(x+4)(x-4)$ .

Scoolie

Scoolie kann dir helfen, die passende binomische Formel in einer Aufgabe zu erkennen.

Du kannst dir jeden Rechenschritt erklären lassen, ohne dass direkt nur eine fertige Lösung dasteht.

Zum Üben kann Scoolie dir ähnliche Aufgaben geben, bis das Muster klar wird.