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Mathe · Oberstufe

Ableitungen einfach erklärt

Eine Ableitung zeigt dir, wie stark sich etwas gerade verändert. In Mathe geht es oft darum, wie steil der Graph einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist.

Der Trick dabei ist: Du suchst nicht irgendeine Steigung, sondern die Steigung genau an einem Punkt. Wenn du das einmal verstanden hast, wird vieles in der Analysis deutlich einfacher.

Grundidee

Die wichtigste Idee bei Ableitungen

Eine Ableitung beschreibt die Steigung einer Funktion an einer Stelle. Stell dir vor, du zoomst ganz nah an den Graphen heran: Die Kurve sieht dort fast wie eine Gerade aus, und deren Steigung ist die Ableitung.

Die wichtigste Grundregel ist die Potenzregel:

f(x)=xn⇒f′(x)=n⋅xn−1f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}

Beispiel

Ableiten und an einer Stelle auswerten

Gegeben ist:

f(x)=3x2−4x+1f(x)=3x^2-4x+1

Leite jeden Teil einzeln ab. Aus 3x23x^2 wird 6x6x, aus −4x-4x wird −4-4, und die Konstante 11 fällt weg.

Damit gilt:

f′(x)=6x−4f'(x)=6x-4

Für die Steigung bei x=2x=2 setzt du 2 ein:

f′(2)=6⋅2−4=8f'(2)=6\cdot2-4=8

Die Steigung dort ist also 8.

Typische Fehler

Viele machen hier denselben Fehler

  • Viele leiten Konstanten falsch ab und lassen zum Beispiel +1+1 stehen. Merke dir: Eine reine Zahl wird beim Ableiten zu 00.

  • Bei xx wird manchmal gar nichts hingeschrieben. Denk an x=x1x=x^1, daraus wird beim Ableiten 11.

  • Manche setzen den x-Wert zu früh ein. Erst ableiten, dann einsetzen, sonst berechnest du nur einen Funktionswert.

  • Vorzeichen gehen schnell verloren, zum Beispiel bei −4x-4x oder −x3-x^3. Schreib den Ableitungsschritt lieber einmal vollständig auf.

Mini-Spickzettel

Ableitungen auf einen Blick

Bedeutung

Ableitung = Steigung oder momentane Änderungsrate.

Potenzregel

xnx^n wird zu n⋅xn−1n\cdot x^{n-1}.

Konstante

Eine reine Zahl wird beim Ableiten zu 0.

Typische Frage

Wie steil ist der Graph bei einem bestimmten xx?

Üben

3 Aufgaben mit Musterlösung

Leicht: Leite f(x)=x3f(x)=x^3 ab.

Nutze die Potenzregel: Die 3 kommt nach vorne, die Potenz wird um 1 kleiner.

f′(x)=3x2f'(x)=3x^2

Mittel: Leite f(x)=2x3−5x+4f(x)=2x^3-5x+4 ab.

Leite jeden Summanden einzeln ab: 2x32x^3 wird 6x26x^2, −5x-5x wird −5-5, 44 wird 0.

f′(x)=6x2−5f'(x)=6x^2-5

Klausurnah: Bestimme die Steigung von f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3x bei x=4x=4.

Zuerst ableiten: f′(x)=2x+3f'(x)=2x+3.

Dann einsetzen: f′(4)=2⋅4+3=11f'(4)=2\cdot4+3=11. Die Steigung ist 11.

Scoolie

Wie Scoolie dir dabei helfen kann

Scoolie kann dir Ableitungsregeln Schritt für Schritt erklären und mit dir an Beispielen üben.

Im Klausurtrainer kannst du typische Aufgaben zu Steigung, Tangenten und Extremstellen wiederholen.

In der Hausaufgabenhilfe bekommst du Hinweise zum nächsten Rechenschritt, ohne einfach nur das Endergebnis zu übernehmen.

Ableitungen mit Scoolie übenKlausurtrainer ansehen